Produkt Mathematik Beispiel Essay

Die Multiplikation gehört zu den Grundrechenarten der Mathematik. Im Folgenden wird erklärt, wie man Zahlen miteinander multipliziert, was das Kommutativgesetz ist und wofür man das Ganze eigentlich braucht. Darüber hinaus gibt es zum Erlernen der Multiplikation Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen.

Die Multiplikation ermöglicht es, viele Aufgaben aus der Mathematik (und damit aus der realen Welt) zu lösen, auch wenn dies auf den ersten Blick nicht so scheint. So kann man damit zum Beispiel einfach Flächen, Volumen oder Zinsen berechnen. Doch bevor wir dazu kommen, müssen erst einmal die Grundlagen erlernt werden. Und damit beginnen wir hier.

Das es sich um eine Multiplikation handelt, erkennt man an dem "·" zwischen zwei Zahlen. Das sieht dann zum Beispiel so aus: 5 · 3. Dieses Zeichen ist somit das Multiplikations - Zeichen. Die Zahl vor dem Zeichen wird auch Faktor 1 oder Multiplikator genannt. Die zweite Zahl wird Faktor 2 oder Multiplikand genannt. Das Ergebnis einer Multiplikation ist ein Produkt. Die folgende Übersicht veranschaulicht dies nochmal:

  • Faktor 1 · Faktor 2 = Produkt
  • Multiplikator · Multiplikand = Produkt

Hinweis: Die Multiplikation ist eine Kurzform der Addition, wie die gleich folgenden Beispiele zeigen werden.

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Multiplikation durchführen

Kommen wir nun zu der Berechnung von Produkten anhand von einigen Beispielen. Schaut euch diese mal genau an und danach gibt es einige Erklärungen dazu:

  • 3 · 5 = 15, weil 5 + 5 + 5 = 15
  • 5 · 3 = 15, weil 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
  • 2 · 8 = 16, weil 8 + 8 = 16
  • 3 · 4 = 12, weil 4 + 4 + 4 = 12

Schauen wir uns das erste Beispiel an: Die Zahl 5 wird 3 mal hingeschrieben und dann addiert. Ergibt die Zahl 15. Beim zweiten Beispiel umgekehrt. Die Zahl 3 wird fünf mal hingeschrieben und addiert. Ergibt ebenfalls 15. Nach dem selben Prinzip funktionieren auch die beiden anderen Beispiele. Anmerkung: Wer etwas Übung in der Multiplikation hat, der schreibt die Summen nicht mehr hin, sondern weiß, dass 4 · 4 = 16 ist. Für alle, die jedoch die Multiplikation neu erlernen, ist das Schreiben der Summen durchaus sinnvoll. Macht auf alle Fälle die Übungsaufgaben am Ende dieses Kapitels.

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Multiplikation mit 0 (Null)

Eine Sonderstellung bei der Multiplikation hat die Zahl 0. Wird mit dieser multipliziert, ist das Ergebnis immer Null. Ein paar Beispiele verdeutlichen dies:

  • 4 · 0 = 0
  • 8 · 0 = 0
  • 0 · 3 = 0
  • 0 · 2 = 0

Das Kommutativgesetz

Für die Multiplikation gilt das sogenannte Kommutativgesetz. Klingt kompliziert, ist es aber nicht: Dieses Gesetz der Mathematik sagt einfach, dass 3 · 5 genau das selbe Ergebnis hat wie 5 · 3 = 15. Wer es nicht glaubt, der probiert es einfach selbst einmal aus oder schaut auf die folgenden Beispiele.

  • 6 · 3 = 18, weil 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
  • 3 · 6 = 18, weil 6 + 6 + 6 = 18
  • 4 · 5 = 20, weil 5 + 5 + 5 + 5 = 20
  • 5 · 4 = 20, weil 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Übungsaufgaben, Schriftliche Multiplikation

Wie rechne ich eigentlich größere Multiplikationen aus? Also zum Beispiel 20 · 30? Genau darum kümmern wir uns auf den folgenden Seiten und lernen dabei die "schriftliche Multiplikation" kennen. Zuvor sollten jedoch erst einmal die Übungsaufgaben zur Multiplikation von dir gelöst werden.

Unter einem Produkt versteht man eine Rechenoperation, die im Normalfall aus zwei gegebenen Größen eine dritte – das Produkt dieser beiden – errechnet. Diese zwei Größen werden als Faktoren bezeichnet.

Allgemein ist ein Produkt eine Abbildung der Form

wobei man das Produkt von und meist als notiert. Die Bezeichnung Produkt wird gewählt, wenn auf jeder der drei beteiligten Mengen bereits eine Addition erklärt ist und für die Abbildung die beiden Distributivgesetze gelten:

Im Fall nennt man ein Produkt kommutativ, falls stets gilt.

Abgeleitet vom lateinischen Wort producere in der Bedeutung (her-)vorbringen ist „Produkt“ ursprünglich die Bezeichnung des Ergebnisses einer Multiplikation zweier Zahlen (von lat.: multiplicare = vervielfachen).[1] Die Verwendung des Malpunktes geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück, das alternative Symbol auf William Oughtred.[2]

Produkte zweier Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier ist stets , d. h. das Produkt zweier Zahlen ist wieder eine Zahl. Produkte werden hier zusätzlich als assoziativ vorausgesetzt, d. h.

Produkt zweier natürlicher Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ordnet man etwa Spielsteine in einem rechteckigen Schema in r Reihen zu je s Steinen an, so benötigt man dafür

Spielsteine. Die Multiplikation ist hier eine Kurzschreibweise für die mehrfache Addition von r Summanden (entsprechend den r Reihen), die sämtliche den Wert s tragen (in jeder Reihe stehen s Steine). Man kann die Gesamtzahl aber auch dadurch berechnen, dass man die Zahl s (entsprechend der Anzahl der hintereinander in einer Spalte stehenden Steine) insgesamt r Mal (entsprechend der Anzahl r solcher nebeneinander angeordneter Spalten von Steinen) addiert (man benötigt hierfür r-1 Pluszeichen). Damit ist bereits die Kommutativität der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen gezeigt.

Zählt man die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen, so bilden diese einen Halbring. Zu einem Ring fehlen die inversen Elemente bzgl. der Addition: Es gibt keine natürliche Zahl x mit der Eigenschaft 3+x=0.

Ein Produkt, bei dem die Zahl 0 als ein Faktor auftritt, hat stets den Wert Null: Eine Anordnung von Null Reihen von Spielsteinen umfasst unabhängig von der Zahl der Steine pro Reihe keinen einzigen Stein.

Produkt zweier ganzer Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Hinzufügen der negativen ganzen Zahlen erhält man den Ring der ganzen Zahlen. Zwei ganze Zahlen werden multipliziert, indem man ihre jeweiligen Beträge multipliziert und mit folgendem Vorzeichen versieht:

In Worten ausgedrückt besagt diese Tabelle:

  • Minus mal Minus ergibt Plus
  • Minus mal Plus ergibt Minus
  • Plus mal Minus ergibt Minus
  • Plus mal Plus ergibt Plus

Für eine streng formale Definition über Äquivalenzklassen von Paaren natürlichen Zahlen vergleiche man den Artikel über ganze Zahlen.

Produkt zweier Brüche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den ganzen Zahlen kann man uneingeschränkt addieren, subtrahieren und multiplizieren. Die Division durch eine von Null verschiedene Zahl ist nur möglich, falls der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Diese Einschränkung lässt sich mit dem Übergang zum Körper der rationalen Zahlen, also zur Menge aller Brüche, aufheben. Das Produkt zweier Brüche erfordert im Gegensatz zu ihrer Summe nicht die Bildung eines Hauptnenners:

Gegebenenfalls lässt sich das Ergebnis noch kürzen.

Produkt zweier reeller Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie bereits Euklid nachweisen konnte, gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat Zwei ergibt. Ebenso ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser, also die Kreiszahl π, nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar. Beide „Lücken“ werden durch eine sogenannte Vervollständigung im Übergang zum Körper der reellen Zahlen geschlossen. Da eine exakte Definition des Produktes in der hier gebotenen Kürze nicht möglich erscheint, sei nur kurz die Idee skizziert:

Jede reelle Zahl lässt sich als ein unendlicher Dezimalbruch auffassen. So sind etwa und Die rationalen Näherungswerte – etwa 1,41 und 3,14 – lassen sich problemlos miteinander multiplizieren. Durch sukzessive Erhöhung der Anzahl der Nachkommastellen erhält man – in einem nicht in endlicher Zeit durchführbaren Prozess – eine Folge von Näherungswerten für das Produkt

Produkt zweier komplexer Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Selbst über der Menge der reellen Zahlen gibt es unlösbare Gleichungen wie etwa . Sowohl für negative wie auch für positive Werte von x ist das Quadrat auf der linken Seite stets eine positive Zahl. Durch den Übergang zum Körper der komplexen Zahlen, der oft auch als Adjunktion, also Hinzufügen von bezeichnet wird, entsteht aus der reellen Zahlengerade die sogenannte gaußsche Zahlenebene. Zwei Punkte dieser Ebene, also zwei komplexe Zahlen, werden unter Beachtung von formal multipliziert:

Geometrische Deutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine komplexe Zahl lässt sich auch in ebenen Polarkoordinaten schreiben:

Ist ferner

so gilt aufgrund der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus

Geometrisch bedeutet das: Multiplikation der Längen bei gleichzeitiger Addition der Winkel.

Produkt zweier Quaternionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Selbst die komplexen Zahlen lassen sich noch algebraisch erweitern. Es entsteht ein reell vierdimensionaler Raum, die sogenannten hamiltonschenQuaternionen. Die zugehörigen Multiplikationsregeln werden im Artikel Quaternion ausführlich dargestellt. Im Gegensatz zu den obigen Zahlbereichen ist die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ, d. h. und sind allgemein verschieden.

Weitere Beispiele für kommutative Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Restklassen ganzer Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dass das Produkt zweier Zahlen genau dann ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind, ist eine weithin bekannte Tatsache. Ähnliche Regeln gelten auch bezüglich der Teilbarkeit durch eine ganze Zahl N größer als Zwei. Die geraden Zahlen entsprechen hierbei den Vielfachen von N; eine gerade Zahl ist ohne Rest durch Zwei teilbar. Bei den ungeraden Zahlen sollte man unterscheiden, welcher Rest bei der ganzzahligen Division dieser Zahl durch N übrig bleibt. Modulo 3 – so die Sprechweise – gibt es drei Restklassen ganzer Zahlen: Solche, die Vielfache von Drei sind, solche mit Rest 1 und solche mit Rest 2. Das Produkt zweier solcher Zahlen hat stets Rest Eins modulo Drei.

Die Menge dieser Restklassen, geschrieben, besitzt genau N Elemente. Ein typisches Element hat die Form und steht für die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch N denselben Rest ergeben wie die Zahl a. Auf der Menge aller solcher Restklassen wird durch

eine Addition und durch

eine Multiplikation erklärt. Der so entstehende Ring heißt der Restklassenring modulo N. Genau dann, wenn N eine Primzahl ist, handelt es sich hierbei sogar um einen Körper. Beispiel: modulo 5 ist die Restklasse von 2 invers zu der von 3, da 6 modulo 5 Eins ist. Das systematische Auffinden von multiplikativen Inversen modulo N erfolgt mittels des Euklidischen Algorithmus.

Funktionenringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der Ring R kommutativ, so bildet die Menge (die Menge aller Funktionen von einer nichtleeren Menge M mit Werten in R) ebenfalls einen kommutativen Ring, wenn man Addition und Multiplikation in komponentenweise definiert. Das heißt, wenn man

für alle erklärt.

Wählt man als Ring R die reellen Zahlen mit den üblichen Addition und Multiplikation, und als M etwa eine offene Teilmenge von oder allgemeiner von , so sind die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen sinnvoll. Die Menge der stetigen bzw. differenzierbaren Funktionen bildet dann einen Unterring des Funktionenringes, der trivialerweise wieder kommutativ sein muss, wenn bzw. R kommutativ ist.

Faltungsprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Faltung (Mathematik)

Seien zwei integrierbare reelle Funktionen, deren Beträge ein endliches uneigentliches Integral besitzen:

Dann ist das uneigentliche Integral

für jede reelle Zahl t ebenfalls endlich. Die dadurch definierte Funktion f*g heißt das Faltungsprodukt oder die Konvolution von f und g. Dabei ist f*g wieder integrierbar mit endlichem uneigentlichem Betragsintegral. Ferner gilt f*g=g*f, d. h. die Faltung ist kommutativ.

Nach Fourier-Transformation ist das Faltungsprodukt bis auf einen konstanten Normierungsfaktor das punktweise definierte Produkt (sog. Faltungstheorem). Das Faltungsprodukt spielt eine wichtige Rolle in der mathematischen Signalverarbeitung.

Die gaußsche Glockenkurve lässt sich dadurch charakterisieren, dass ihre Faltung mit sich selbst wieder eine etwas in die Breite gezogene Glockenkurve ergibt (vgl. hier). Genau diese Eigenschaft liegt dem zentralen Grenzwertsatz zugrunde.

Polynomringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge aller Polynome in der Variablen X mit reellen Koeffizienten bildet ebenfalls einen sogenannten Polynomring. Das Produkt wird hierbei wie folgt berechnet:

mit

Diese Ringe spielen in vielen Bereichen der Algebra eine große Rolle. So lässt sich etwa der Körper der komplexen Zahlen formal elegant als Faktorring definieren.

Beim Übergang von endlichen Summen zu absolut-konvergenten Reihen bzw. formalen Potenzreihen wird aus dem hier besprochenen Produkt das sog. Cauchy-Produkt.

Produkte in der linearen Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen solchen. In diesem Zusammenhang treten verschiedenartige Produkte auf. Im Folgenden wird zur Vereinfachung als Grundkörper zumeist der Körper der reellen Zahlen verwendet.

Skalares Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits in der Definition eines Vektorraums V taucht der Begriff der Skalarmultiplikation auf. Damit lassen sich Vektoren ganz allgemein um einen reellen Faktor „strecken“, wobei im Falle der Multiplikation mit einem negativen Skalar auch noch die Richtung des Vektors umgedreht wird.

Das Skalare Produkt ist eine Abbildung

Eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten

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